De acuerdo con lo planteado más arriba, la dependencia se manifiesta en la alteración del valor de una probabilidad asociada a un experimento, condicionado por la ocurrencia de otro evento. Por ejemplo, es claro que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea alta será menor que sí la selección se hace entre los miembros de un equipo de básquet. En este caso el conocimiento de la pertenencia de una persona, que nos van a presentar, a un equipo de básquet nos permite intuir que debería ser alta, es decir que nos resulta más probable que sea alta que si se tratase de una persona de quién no supiésemos nada antes de conocerla.
Si partimos de la expresión escrita más arriba se deduce que P(A∩B) = P(A/B) P(B), lo que se suele conocer como el "teorema de la multiplicación". Pero por conmutatividad de la intersección, P(A∩B ) = P(B∩A), que por simetría en la escritura del teorema nos permite escribir que P(B∩A) = P(B/A) P(A). Por lo tanto
P(A∩B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A) = P(B∩A)
Esta expresión será usada más adelante.
También es claro que si P(A/B)≠P(A) es equivalente a decir que A depende de B, si esta desigualdad no se cumple, es decir, si P(A/B) = P(A/S) = P(A) para abreviar la notación, esta expresión es equivalente a afirmar que no hay dependencia, es decir, que hay independencia.
De la expresión de arriba resulta que P(A∩B) = P(A/B) P(B) = P(A) P(B) = P(B/A) P(A) = P(B∩A) = P(B) P(A), debe ser P(B/A) = P(B) = P(B/S), es decir que B es independiente de A.
En otras palabras, las relaciones de dependencia e independencia no reconocen relación de orden. Los eventos son mutuamente independientes o mutuamente dependientes. Por lo tanto no puede establecerse una relación de causalidad a partir de la verificación de una relación de dependencia probabilística.
Recordemos aquí que si los eventos son independientes puede escribirse la relación P(A∩B) = P(A) P(B), mientras que si los eventos son mutuamente excluyentes es válida la expresión P(A∪B) = P(A) + P(B). Así la dependencia y la exclusión facilitan mucho el cálculo de probabilidades. La probabilidad de la intersección de varios eventos puede escribirse como un producto de probabilidades si los eventos son todos mutuamente independientes, cada una de las cuales puede calcularse por separado. Si por otra parte se trata de eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de tales eventos se puede calcular como la suma de probabilidades que pueden calcularse por separado. Además, si se sabe que los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de uno hace imposible la ocurrencia simultánea del otro, por lo que P(A/B) = 0 si A y B son excluyentes. Por otra parte, si A y B son independientes, no podemos decir nada acerca de que sean o no excluyentes.
