Una primer noción empírica que apunta hacia una definición matemática de la probabilidad parte de la idea de "experimento aleatorio", entendiendo por tal la descripción clara, completa, detallada, de los procedimientos a realizar con el fin de obtener un resultado que no se conoce a priori, pero realizable en idéntica manera por otro experimentador, de manera tal que el resultado no dependa del sujeto que realiza la experiencia sino de las características de la experiencia misma y del azar. Precisamente el azar es lo que introduce la aleatoriedad en el problema que se plantea. Por ejemplo, tirar una moneda, medir la altura de una puerta o describir numéricamente el estado de todas las variables de un avión en vuelo. Esto nos ofrece tres ejemplos claramente diferentes. En primer lugar un experimento con dos resultados claramente diferenciados (cara y seca), pero sólo dos si se excluye la posibilidad de la rotura de la moneda y otras alternativas, es decir un experimento con un conjunto discreto de resultados posibles. El segundo caso hace referencia a una medición (1), con lo cual se plantea toda medición como un experimento aleatorio y, por lo tanto, susceptible de ser tratado en términos probabilísticos con un rango continuo e infinito de resultados posibles. Pero una única medición única al fin. El tercer ejemplo nos plantea un conjunto de variables que deben ser medidas en forma simultánea, algunas discretas, otras continuas, pero todas describen conjuntamente el estado del sistema.
Es claro que el tercer ejemplo es el más complejo, el segundo nos plantea el problema del continuo y del infinito, y sólo el primer ejemplo se ofrece de una manera simple como un conjunto de resultados posibles claramente diferenciados. Este experimento (tirar una moneda) es totalmente conocido de antemano, si se excluyen caídas laterales, roturas, pérdidas, es decir, si se idealizan las dos alternativas obvias como las únicas posibles, se supone que la moneda está perfectamente equilibrada y que se la ha dejado caer sin ninguna intencionalidad y sometiéndose al puro azar. Lo único que no es conocido entonces es el resultado final del experimento, es decir, si se obtendrá Cara o Ceca.
En cambio puede evaluarse el número de resultados posibles como "dos" (cp = 2 o número de casos posibles es igual a dos) y también el de resultados favorables si se ha apostado a uno de los dos, por ejemplo a Cara. En tal caso hay sólo un resultado favorable (cf = 1 o número de casos favorables es igual a uno). Es natural expresar entonces la idea intuitiva o empírica de probabilidad como "uno de dos", "la mitad", o 0.5, a veces expresado en porcentaje como 50%. Es decir que la noción intuitiva nos conduce a "definir" la probabilidad como un cociente entre los casos favorables y los posibles. Más adelante se desarrollará este punto y analizará sus consecuencias. Por el momento podemos abordar un primer problema, consecuencia del anterior, y primera pregunta que puede hacerse a la matemática para contribuir a tratar el problema de la incertidumbre. Este problema consiste en facilitar el conteo.
Es claro que los resultados posibles en una moneda son dos, en un dado son seis, pero ¿en dos dados tirados simultáneamente?, ¿en un complejo juego de cartas? Ante esta dificultad la matemática responde con un conjunto de técnicas que suelen conocerse como "técnicas de conteo".
En una medición se distinguen en primera instancia cuatro elementos, un objeto a medir, un instrumento de medida, un patrón de referencia que define una unidad, y un procedimiento de medición que describe cómo interactúan los elementos mencionados para dar como resultado un valor medido. El procedimiento de medición es lo que en teoría de probabilidades se llama "experimento aleatorio".
Técnicas de conteo
Esta noción intuitiva de probabilidad conduce a cuestionarse cómo desarrollar técnicas que faciliten el conteo de casos posibles y favorables en un experimento dado. No existe una teoría completa en relación con este problema sino un conjunto de técnicas más o menos ordenadas en términos de la generalidad de aplicación. De todos modos tampoco debe confundirse este primer problema con el objetivo último de la teoría de probabilidades, que consiste en el desarrollo de modelos y de elementos de juicio que faciliten la toma de decisión en situaciones de incertidumbre, y los problemas son mucho más interesantes y complejos que los relativos a juegos de azar. Pero los juegos de azar tienen como característica que pretenden ofrecer una descripción completa y clara del procedimiento y las reglas del juego, de manera tal que se tiene un conocimiento total de los resultados posibles. Es un planteo que se aproxima mucho a la idealidad requerida para el desarrollo de cualquier teoría. Sin embargo la realidad resulta mucho más compleja.
Planteamos en primera instancia un juego de azar en el que todos los resultados posibles son claramente distinguibles e igualmente posibles, o simétricos. Así es suficiente contar el número de caras de una moneda, de lados de un dado, de cartas en un mazo o de números en un bolillero. Pero la combinación de alternativas conduce a una progresiva complejidad que requiere un mínimo desarrollo teórico. En esta primera etapa nos limitaremos al conteo del número de casos posibles en un juego de azar.
Permutaciones:
Uno de los primeros problemas de conteo es el de las permutaciones o número de ordenamientos lineales posibles, sin repetición, de un conjunto de elementos distinguibles que no tienen ninguna limitación acerca de la ubicación en el ordenamiento. El caso típico se ejemplifica en el conteo de la cantidad de maneras posibles en que puede ordenarse un número n de objetos distinguibles sin restricción en el ordenamiento permitido. Así un único objeto puede ordenarse de una única manera. Dos objetos de dos maneras (AB y BA), tres objetos de seis maneras (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA). Si observamos la secuencia de casos posibles resulta 1, 2, 6, que coincide con 1 = 1, 2 = 2.1, 3 = 3.2.1 y la generalización inductiva consiste en un factorial n!. También puede plantearse, de modo más general, que el primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los n objetos, el segundo por cualquiera de los restantes, excepto el que fue ubicado en primer lugar, y así sucesivamente. Si razonamos entonces que por cada uno de los n posibles objetos ubicados en el primer lugar hay n-1 opciones para el segundo y que habrá n-2 para el tercero hasta una única opción para el último lugar, luego de haber ubicado a todos los demás, y además de interpreta el "por cada" como una multiplicación, se concluye que el número de permutaciones serán n!. Esto conduce a una primera ecuación que se ofrece como técnica de conteo. Si Pn indica "permutaciones de n elementos distinguibles y simétricos", será Pn = n!.
Independencia y multiplicación
Tras la idea de multiplicar casos posibles se encubre la hipótesis de independencia entre ellos. Es decir que "por cada n posibilidades para el primer lugar hay n-1 para el segundo" presupone que el segundo lugar y los objetos que podrían ubicarse en el segundo lugar no se ven influenciados en manera alguna por el objeto ubicado en primer lugar. Esta "no influencia" de un resultado sobre otro es lo que se interpreta como independencia y es lo que se presupone en el cálculo del número de permutaciones. Como contra ejemplo puede plantearse ordenar diez fichas numeradas del 1 al 10. Si se plantea que la ficha que precede o antecede a otra no puede ser un número consecutivo, no habrá independencia entre una ficha y la precedente, es decir que si por azar el primer lugar fue ocupado por la ficha 5, el segundo no puede ser ocupado por la 4 ni por la 6; pero entonces habrá 10 posibilidades para el primer lugar, aunque no habrá 9 para el segundo sino sólo 7 porque la 5 fue ubicada y la 4 y la 6 no están permitidas. Esto invalida el uso de n! como técnica de conteo del número de permutaciones debido al condicionamiento impuesto en la secuencia.
En otras palabras, es la independencia mutua entre las distintas etapas de un experimento lo que nos permite interpretar el "por cada" como una simple multiplicación en sentido matemático. Para ello suele recurrirse gráficamente a la imagen de un árbol con sus ramificaciones.
Un caso diferente se plantea si un jugador debe elegir sólo uno entre varios juegos y desea contabilizar el número de casos posibles de que dispone. Por ejemplo, puede elegir entre tirar una moneda, o tirar un dado, o sacar una carta de un mazo de 40, o extraer una bolilla entre 100. Como no puede realizar todas las experiencias en forma simultánea sino sólo una, tendrá 2 casos posibles para la moneda, 6 para el dado, 40 para la carta, 100 para el bolillero, por lo tanto en total 2+6+40+100 =148 casos posibles. Resulta aquí que la exclusión de partes de un experimento conduce a la adición de los casos posibles.
Variaciones
Una variación consiste en una limitación de la permutación a un número de elementos menor que el total disponible. Es decir que si de n elementos se pretende reordenar un subconjunto de r
Siguiendo el razonamiento anterior, se dispone de n posibilidades para el primer lugar, n-1 para el segundo, n-2 para el tercero, y así sucesivamente hasta n-r+1 para el último lugar a ser ocupado. Este planteo puede expresarse como un cociente de factoriales.
nVr = n.(n-l).(n-2).....(n-r+1) = n! / (n-r)!
La interpretación de este cociente puede plantearse en términos de eliminar del ordenamiento de todos los elementos (n!) el ordenamiento de aquellos que no se incorporan entre los r seleccionados (n-r)!
Combinaciones
Se llama de esta manera al conteo del número de agrupamientos posibles a partir de n elementos distinguibles y simétricos, formando grupos de r elementos. El análisis puede plantearse de manera similar a los anteriores, pero quizá es más fácil partir de la idea de variación como agrupación de n elementos ordenados. Si se considera que en la variación se contabiliza el ordenamiento de los r elementos seleccionados como un caso posible diferente y de modo multiplicativo, es claro que suprimir el ordenamiento consiste en dividir por el número de ordenamientos en el subconjunto, es decir, por los ordenamientos internos del subconjunto que no se deben contabilizar como casos diferentes, esto es, por r!.
Resulta así, si nCr se lee "combinaciones de n elementos tomados de a r" que
nCr = nVr/r!
y esto no es más que el número combinatorio n! / (n-r)! r!
Permutaciones con reposición
Otras experiencias con juegos de azar
Si se dispone de n1 con una característica y n2 con otras características diferentes y se extraen ordenadamente n objetos con reposición, puede plantearse como pregunta el número de ubicaciones diferentes de r objetos de tipo 1 entre las n ubicaciones. Esta respuesta puede plantearse en términos de cuántas maneras pueden ubicarse r objetos en n lugares, es decir, como el número de selecciones de r lugares posibles entre n. Por lo tanto el número de ubicaciones diferentes será dado por un número combinatorio nCr.
Por ejemplo, se dispone de ocho lugares en una fila para que se ubiquen doce personas, siete mujeres y cinco hombres. Se seleccionarán cuatro mujeres y cuatro hombres para ubicar en los ocho lugares. Estas ubicaciones pueden realizarse de 8C4 maneras diferentes, es decir, de tantas maneras como pueden elegirse cuatro lugares entre los ocho para ubicar a las mujeres. Puede notarse que aquí no interviene el número de mujeres ni de hombres, n1 y n2, porque se suponen indistinguibles.
Si se extraen y ordenan n objetos con reposición que configuran subgrupos de n1, n2, ..., ni, ..., nr características diferenciadas, habrá n! ordenamientos posibles del total (n = ni + n2 + ... nr), pero n1! del grupo 1 indistinguibles, n2! del grupo 2 y así sucesivamente, de manera tal que n!/nl!.n2!....ni!....nr! nos dará el número de ordenamientos posibles.
Como ejemplo puede plantearse el número de modos de ordenamiento de monedas de 5, 10, 25, 50 centavos y 1 peso, de las que se disponen 6, 3, 2, 4 y 5 de cada una respectivamente. El número total de monedas vale 6+3+2+4+5 = 20, por lo que el número de ordenamientos posibles será 20! / 6! 3! 2! 4! 5! =97772875200 casos.
Se extraen r objetos de un conjunto de n sin reposición, de manera tal que hay n1 objetos del tipo 1, n2 del tipo 2 y así sucesivamente, si se pregunta por el número de agrupaciones posibles tales que haya r1 objetos de tipo 1, r2 del tipo 2 y así siguiendo, habrá n1 C rl . n2 C r2... .ni C ri... grupos diferentes que pueden formarse.
Por ejemplo, si se forman comisiones de 1 alumno de quinto, con 10 estudiantes, 2 de cuarto con 15, 3 de tercero con 20, 4 de segundo con 25 y 5 de primero con 30 resulta que habrá 10C1 15C2 20C3 25C4 30C5 comisiones diferentes a formar.
