La noción de probabilidad condicional es una de las más importantes dentro del cálculo de probabilidades porque encierra la relación entre la ocurrencia de eventos. Esta relación puede estar asociada con una vinculación causal.
Se dice que un evento está condicionado por otro cuando la probabilidad de ocurrencia de tal evento se ve modificada por la ocurrencia o no del otro. Por ejemplo, imaginemos un juego que consiste en extraer tantas cartas de un mazo como indique el número resultante de tirar un dado. La probabilidad de obtener un as en las cartas dependerá del número resultante de la tirada del dado porque será mayor cuanto más grande sea ese número; la probabilidad de ocurrencia de accidentes depende de las condiciones de visibilidad.
En términos generales diremos que P(E, A / E', B) representa la probabilidad condicional de que ocurra un evento A resultante de un experimento E si se tiene conocimiento acerca de la ocurrencia de un evento B resultante de un experimento E'. En forma abreviada se suele escribir P(A / B) como "probabilidad de A dado B". Debe tenerse presente que lo que se evalúa es la probabilidad de ocurrencia de A, no se evalúa la probabilidad de ocurrencia de B sino que a B se lo da por conocido. También debe observarse que B no tiene que ser un evento cuya ocurrencia sea necesariamente previa a la de A -no se trata de una relación temporal- sino que tengamos el conocimiento de la ocurrencia de B previamente a la ejecución del experimento A. Por ejemplo no se distingue la probabilidad de que alguien vaya a llegar tarde sabiendo que llueve, que vaya a llegar tarde sabiendo que llovió o que vaya a llegar tarde sabiendo que va a llover. La lluvia se asume como un dato y el problema se limita a la probabilidad de llegar tarde bajo condiciones de lluvia.
Desde el punto de vista del cálculo, la probabilidad condicional se relaciona de manera muy sencilla con las probabilidades usuales. Si fAB representa la frecuencia de ocurrencias de A y B simultáneamente y fB las de ocurrencia de B, es claro que la probabilidad condicional de A teniendo como dato la ocurrencia de B presupone la ocurrencia de ambos eventos, A y B. Pero el cálculo de probabilidad como cociente de frecuencias debe limitarse a la ocurrencia de B porque es un dato que se admite conocido. Por lo tanto fB es el subconjunto de casos posibles de un total de n, el subconjunto que contiene la ocurrencia de B. Dentro de este subconjunto interesa el subconjunto aún más restringido de casos en que también ocurre A y que denotamos por fAB. El cociente fAB / fB tenderá a la probabilidad condicional de A sabiendo que ocurre B cuando n tienda a infinito. Pero si dividimos numerador y denominador por el número total de casos n resulta
fAB / fB = fAB/n : fB / n = P(A∩B) / P(B) = P(A/B).
Admitiremos por lo tanto en adelante que
P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
será una forma genérica de calcular la probabilidad condicional de un experimento. Puede notarse que la noción de dependencia impone que P(A/B) ≠ P(A/S), donde S representa el espacio muestral e indica que no se tiene el conocimiento acerca de la ocurrencia de B, es decir que la información de la ocurrencia de B altera la probabilidad de ocurrencia de A. Pero también es claro que si P(A/B) ≠ P(A/S), se infiere que B contiene información sobre la posible ocurrencia de A, por lo tanto hay dependencia. En otras palabras, P(A/B) ≠ P(A/S) es condición necesaria y suficiente para que haya dependencia, por lo tanto se puede asumir como expresión matemática equivalente a la noción intuitiva de dependencia y tomarse como definición.
